EXPONENECIAL

POTÊNCIAS

* Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido iⁿ = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 2³

Potência = 3⁵

5¹ = 5

5⁰ = 1

 Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ ÷ 2 = 2^4-1 = 2³

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ x 2 = 2⁴⁺¹ = 2⁵

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (2³)⁴ = 2¹² , pois = 2³ x 2³ x 2³ x 2³

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b⁵ya³ )⁴ = b²⁰y⁴a¹²

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2^-4 = 1/2⁴ = 1/16

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)⁴ = a⁴/b⁴ = b#0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10ⁿ (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 10⁴ = 10000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.10²

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10^-3

Equação Exponencial

Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras.

Exemplos de equações exponenciais:

10^x = 100
2^x + 12 = 20
9^x = 81
5^x+1 = 25

Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:

3^x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 3⁷)

2^{x + 12} = 1024                       
Função exponencial

As funções exponenciais são aquelas expressões em que a variável se encontra no expoente, com algumas restrições à base da potência. Esse tipo de função possui a seguinte lei de formação, f(x) = ax ou y = ax, onde a pertence aos reais com ausência do zero, e a diferente de

A função exponencial pode ser classificada em crescente ou decrescente, considerando os seguintes casos:

1º) a > 1 – Crescente

Observe o gráfico da função f(x) = 2x.

2º) 0 < a < 1 – Decrescente

Observe o gráfico da função f(x) = (1/2)x

EXPONENCIAL

FUNÇÕES E INEQUAÇÕES

1. ( UFCE ) Se f ( x ) = 16^1+1/x, então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a :

a.    11

b.    13 X

c.     15

d.    17

e.    nda

2. ( UFMG ) Se então f ( 0 ) - f ( 3/2 ) é igual a:

a.    5/2

b.    5/3

c.     1/3 X

d.    -1/2

e.    -2/3

3. ( PUC - SP ) Se y = 10^x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre:

a.    -1 e 0

b.    2 e 3

c.     3 e 5 X

d.    5 e 10

e.    10 e 100

4. ( PUC - MG ) Seja a função f ( x ) = a^x . É correto afirmar que :

a.    ela é crescente se x > 0

b.    ela é crescente se a > 0

c.     ela é crescente se a > 1 X

d.    ela é decrescente se a 1

e.    ela é decrescente se 0 < x < 1

5. ( FGV - SP ) Assinale a afirmação correta:

a.    ( 0,57 ) ² > ( 0,57 ) ³ X

^b.       ( 0,57 ) ⁷ < ( 0,57 ) ⁸

^c.       ( 0,57 ) ⁴ > ( 0,57 ) ³

^d.       ( 0,57 ) ^0,57 > ( 0,57 ) ^0,50

e.    ( 0,57 ) ^-2 < 1

6. ( UEL - PR ) Os números reais x são soluções da inequações 25^1-x < 1/5 se, e somente se:

a.    x > -3/2

b.    x > 3/2 X

c.     -3/2 < x < 3/2

d.    x < 3/2

e.    x < -3/2

7. ( PUC - RS ) Seja a função f: IR è IR definida por f ( x ) = 2^x . Então f ( a+1) - f (a) é igual a:

a.    2

b.    1

c.     f ( a ) X

d.    f ( 1 )

e.    2 f ( a )

8. ( PUC - MG ) Os valores de a IR que tornam a função exponencial f ( x ) = ( a - 3 )^x decrescente são :

a.    0 < a < 3

b.    3 < a < 4 X

c.     a < 3 e a 0

d.    a > 3 e a 4

e.    a < 3

9. ( FATEC - SP ) Seja f IR è IR onde f ( x ) 2^1/2. O conjunto de valores de x para os quais f ( x ) < 1/8 é:

a.    ( 3, 8 )

b.    ( _- , -1/3 )

c.     ( _- , 3 )

d.    ( - 1/3, 0 ) X

e.    IR - { 0, 8 }

10. ( PUC - MG ) Se f ( x ) = 4^x+1 e g ( x ) = 4^x, a solução da inequação f ( x ) > g ( 2 - x ) é:

a.    x > 0

b.    x > 0,5 X

c.     x > 1

d.    x > 1,5

e.    x > 2

11. ( FGV - SP ) A solução da inequação , é:

a.      x 0

b.    -5 x 0 X

c.     x 0

d.    x -5 ou x 0

e.    nda

12. ( MACK - SP ) Assinale a única afirmação correta:

a.    0,21² > 0,21³ X

^b.       0,21^0,21 > 0,21^0,20

^c.       0,21⁷ < 0,21⁸

^d.       0,21⁴ > 0,21³

e.    0,21^-2 < 1

13. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (4^{3 - x})^{2 - x} = 1 é:

a) 0
b) 1
c) 4
d) 5
e) 6 x


14. (PUCCAMP) Considere a sentença a^{2x + 3} > a⁸, na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo:

a) x = 3 e a = 1
b) x = -3 e a > 1
c) x = 3 e a < 1
d) x = -2 e a < 1 x
e) x = 2 e a > 1


15. As funções y = a^x e y = b^x com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em:

a) nenhum ponto;
b) 2 pontos;
c) 4 pontos;
d) 1 ponto; x
e) infinitos pontos.


16. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x² - 2:

a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0); x
b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);
c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);
d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);
e) não intercepta o eixo dos x.


. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)^x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de:

a) 900
b) 1000
c) 180
d) 810  x
e) 90