EXÉRCICIOS DE LOGARITMO

Logaritmos

1 - INTRODUÇÃO

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 4² = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log₄16 = 2.

Outros exemplos:
15² = 225, logo: log₁₅225 = 2
6³ = 216, logo: log₆216 = 3
5⁴ = 625, logo: log₅625 = 4
7⁰ = 1, logo: log₇1 = 0

2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação b^x = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: log_bN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:
a) log₂8 = 3 porque 2³ = 8.
b) log₄1 = 0 porque 4⁰ = 1.
c) log₃9 = 2 porque 3² = 9.
d) log₅5 = 1 porque 5¹ = 5.

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log₁₀N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10^x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
log_eM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:
a) log100 = 2 porque 10² = 100.
b) log1000 = 3 porque 10³ = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 10^0,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 10^0,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e¹ = e = 2,7183...
f) ln 7 = log_e7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que
10^1,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log₃(-9) , log₂0 , etc.

4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
log_b1 = 0 porque b⁰ = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: log_bb = 1 , porque b¹ = b.

P3) log_bb^k = k , porque b^k = b^k .

P4) Se log_bM = log_bN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

P5) b^logbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
log_b(M.N) = log_bM + log_bN

Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
log_b(M/N) = log_bM - log_bN

Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10^-1,6990 = 0,02.

Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).

Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
colog_bN = log_b(1/N) = log_b1 - log_bN = 0 - log_bN = - log_bN.
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: log_bM^k = k.log_bM.
Exemplo: log₅25⁶ = 6.log₅25 = 6.2 = 12.

P4 - MUDANÇA DE BASE

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos:
a) log₄16 = log₂16 / log₂4 (2 = 4:2)
b) log₈64 = log₂64 / log₂8 (2 = 6:3)
c) log₂₅125 = log₅125 / log₅25 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 25^1,5 = 125.

Notas:
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.

2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) log_bN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) log_ba . log_ab = 1

Exemplos:
a) log₃7 . log₇3 = 1
b) log₂3 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

4 - A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função y = a^x , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, a^x é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R₊^* , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R₊^* ; y = a^x , 0 < a ¹ 1

Esta função é bijetora, pois:
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.

Vamos determinar a função inversa da função y = a^x , onde 0 < a ¹ 1.
Permutando x por y, vem:
x = a^y \ y = log_ax

Portanto, a função logarítmica é então:
f: R₊^* ® R ; y = log_ax , 0 < a ¹ 1.

Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = a^x ) e logarítmica
( y = log_ax ), para os casos a > 1 e 0 < a ¹ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

---

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.
2 - para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = log_ax é o conjunto R₊^* .
4 - o conjunto imagem da função y = log_ax é o conjunto R dos números reais.
5 - o domínio da função y = a^x é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = a^x é o conjunto R₊^* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos:

1 - Se S é a soma das raízes da equação log² x - logx - 2 = 0 , então calcule o valor
de 1073 - 10S.

SOLUÇÃO:
Façamos logx = y; vem:
y² - y - 2 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto,
logx = 2 OU logx = -1

Como a base é igual a 10, teremos:
log₁₀x = 2 \ x = 10² = 100
log₁₀x = -1 \ x = 10^-1 = 1/10

As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10.
Conforme enunciado do problema, teremos:
S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10

Logo, o valor de 1073 - 10S será:
1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72
Resposta: 72

2 - Calcule o valor de y = 6^x onde x = log₃2 . log₆3 .

SOLUÇÃO:
Substituindo o valor de x, vem:
y = 6^log₃^{2 . log}₆³ = (6^log₆³)^log₃² = 3^log₃² = 2
Na solução acima, empregamos a propriedade b^log_b^M = M , vista anteriormente.
Resposta: 2

3 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 5²⁰ é:
a) 13
b) 14
c) 19
d) 20
e) 27

SOLUÇÃO:
Seja n = 5²⁰ . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 5²⁰ = 20.log5

Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699

Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.

4 - UFBA - Considere a equação 10^{x + 0,4658} = 368. Sabendo-se que
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.

SOLUÇÃO:
Temos: 10^{x + 0,4658} = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658 \ x = log 368 - 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658

Logo, log 368 - log 100 = 0,5658 \ log 368 - 2 = 0,5658 , já que
log 100 = 2 (pois 10² = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658

Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resposta: 21

5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
logN = 2 + log2 - log3 - log5²
logN = 2 + log2 - log3 - log25
logN = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logN = log(100.2) - log(3.25)
logN = log200 - log75
logN = log(200/75)

Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resposta: 30N = 80

Agora, resolva estes:

1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 5³ . , então o logx é:
*a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097

2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x² -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7
*03) 10
04) 14
05) 35

3 - UCSal - Se 12ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ . 8 , então log₂ n é igual a:
a) -2
*b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2

4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
*d) (3/2,4)
e) (3/2,10)

5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log₂ (x-3) + log₂ (x-2) = 1.
Resp: 4

6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90

7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d)5
*e) 5/2

8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x² - y² ) é igual a:
a) 100
*b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x² - y² = (x - y) (x + y)

1) Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a)	b)
c)	d)
e)	f)
g)	h)

---

2) Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a)

b)

c)

d)

---

3) Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a)

b)

c)

d)

---

4) O número real x, tal que , é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

---

5) (PUCRS) Escrever , equivale a escrever

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

---

6) Se , o valor de é:

(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2

---

7) (PUCRS) A solução real para a equação , com a>0, a≠1 e b>0, é dada por

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

---

04 - A	05 - A	06 - B	07 - E

1) (UCS) O valor de é

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

---

2) (UFRGS) Se e , então é

(A)
(B)

(C)

(D)

(E)

---

3) (PUCRS) Se e , então é igual a

(A)

(B)

(C)
(D)
(E)

---

4) (PUCRS) A solução da equação pertence ao intervalo

(A)
(B)

(C)

(D)

(E)

---

5) Dado , calcule o valor de em função de P

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

---

6) (CAJU) A solução para o sistema de equações:

é

(A) (7, 6)

(B) (6, 7)

(C) (9, 4)

(D) (1, 12)

(E) (0, 36)

---

01 - A	02 - D	03 - B	04 - D	05 - D
06 - C

LOGARITMOS - INTRODUÇÃO

1. ( MACK - SP ) Se log₃ 1/27 = x, então o valor de x é:

1. -9
2. -3 X
3. -1/3
4. 1/3
5. 3

2. ( UDESCO - SC ) Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente:

1. 2, 1 e -3
2. 1, 0 e -2
3. 3, 1 e -2 X
4. 4, -2 e -3
5. 3, 0 e -2

3. ( UFPA ) A expressão mais simples para a^log_a^x é:

1. a
2. x ( x > 0 ) X
3. log_ax
4. log_xa
5. a^x

4. ( CESGRANRIO - RJ ) Se log ( 2x -5 ) = 0, então x vale:

1. 5
2. 4
3. 3 X
4. 7/3
5. 5/2

5. ( FV - RJ ) O valor de log₉ 27 é igual a:

1. 2/3
2. 3/2 X
3. 2
4. 3
5. 4

6. ( PUC - SP ) Se , então x + y é igual a:

1. 5/3
2. 10/9 X
3. 8/9
4. 2/3
5. 5/9

7. ( UPF - RS ) O valor numérico real da expressão é:

1. -5
2. 4 X
3. 5
4. 8
5. impossível

8. ( ULBRA ) Se log₁₆ N = - 1/2, o valor de 4N é:

1. 1 X
2. 4
3. 1/4
4. 16
5. 1/16

9. ( FEMPAR - PR ) Se 2x - y = 1 e x - 3y = -7, log₄ (x^y+8y) é igual a:

1. 0,5
2. 2,5 X
3. 2,0
4. 1,5
5. 1,0

10. ( UNESP - SP ) Em que base o logaritmo de um número natural n, n > 1, coincide com o próprio número n ?

1. nⁿ
2. 1/n
3. n²
4. n
5. n^1/n X

11. ( UFSM - RS ) Seja K a solução da equação log₄ ( log₂x ) = -1. O valor de k⁴ é:

1. 1/8
2. 1/2
3. 1
4. 4
5. 2 X

12. (UEBA ) O número real x, tal que log_x ( 9/4 ) = 1/2 é

1. 81/16 X
2. -3/2
3. 1/2
4. 3/2
5. -81/16

13. ( UFMG ) Seja log_a 8 = - 3/4, a > 0. O valor da base a é:

1. 1/16 X
2. 1/8
3. 2
4. 10
5. 16

14. ( PUC - PR ) O logaritmo de na base 1/625 é igual a:

1. 7
2. 5
3. 1/7
4. -1/28 X
5. nda

15. ( UERJ ) O valor de 4^log₂⁹ é:

1. 81 X
2. 64
3. 48
4. 36
5. 9

16. ( PUC - SP ) Se x + y = 20 e x - y = 5 então log ( x² - y² ) é igual a:

1. 100
2. 2 X
3. 25
4. 12,5
5. 15

17. ( UEPG - PR ) A solução da equação log₂ 0,5 + log₂x - log₂ = 2 está contida no intervalo :

1. [ 10, 12 ] X
2. [ 5, 7 ]
3. [ 2, 4 ]
4. [ 0, 1 ]
5. [ 8, 9 ]

18. ( UFRN ) Se a equação x² + 8x + 2 log a = 0 possui duas raízes reais e iguais, então, a é igual a:

1. 10
2. 10²
3. 10⁴
4. 10⁶
5. 10⁸ X

19. ( UECE ) Se k = log₅ ( 6 + ), então 5^k + 5^-k é igual a:

1. 6
2. 8
3. 12 X
4. 16
5. 18

20. ( FATEC - SP ) Se x, y IR são tais que e log_y-1 4 = 2, então x + y é:

1. 0 X
2. -1
3. -2
4. 1 ou -4
5. -6 ou -2

LOGARITMOS - PROPRIEDADES

1. ( UEPG - PR ) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale:

1. 1,77 X
2. 1,41
3. 1,041
4. 2,141
5. 0,141

2. ( FURG - RS ) Sendo log x = a e log y = b, então log é igual a:

1. a+b/2
2. b/2a
3. - a
4. X
5. /a

3. ( UFRJ ) Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é:

1. 376,29000
2. 188,15000
3. 1,9030900
4. 2,9818000
5. 3,0969100 X

4. ( UFPR )Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28 ?

1. 1,146
2. 1,447 X
3. 1,690
4. 2,107
5. 1,107

5. ( PUC - SP ) Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a:

1. 0,6990
2. 0,6880
3. 0,6500 X
4. 0,6770
5. 0,6440

6. ( FUVEST - SP ) Se log₂ b - log₂ a = 5, então o quociente b/a vale:

1. 10
2. 25
3. 32 X
4. 64
5. 128

7. (FURG-RS) Qual é o valor de m na expressão: , sendo log a = 2,16172, log b = 0,15172 e log t = 0,10448.

1. m = 100 X
2. m = 10
3. m = -20
4. m = - 10
5. m = 1000

8. ( FAAP - SP ) Sabendo-se que log₂ y = log₂3 + log₂6 - 3log₂4, o valor de y, real é:

1. -3
2. 9/8
3. 3/2
4. 9/32 X
5. 9/16

9. ( ACAFE - SC ) Dado o sistema temos x + y é igual a:

1. -2
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4 X

10. ( UM - SP ) Sendo log₃ ( -2 ) = a, então o valor de log₃ ( + 2 ) é igual a:

1. 2-a
2. 2+a
3. 1-a X
4. 1+a
5. 3-a

11. ( FUVEST - SP ) Sendo log_a2 = 0,69 e log_a 3 = 1,10, o valor de log_a é:

1. 0,62 X
2. 0,31
3. -0,48
4. 0,15
5. 0,14

12. ( FCMSCSP ) Usando a tabela, o valor de log 75 é:

x	log x
2	0,3010
6	0,7782

1. 1,147
2. 1,3011
3. 1,5564
4. 1,6818
5. 1,8752 X

13. ( PUC - SP ) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log é igual a:

1. 0,12
2. 0,22 X
3. 0,32
4. 0,42
5. 0,52

14. ( UFCE ) Utilizando-se a tabela abaixo, conclui-se que o valor de log é:

N	log N
1,26	0,1
1,58	0,2
1,99	0,3
2,51	0,4
3,16	0,5

1. 0,3
2. 1,26
3. 1,58 X
4. 1,99
5. 2,51

15. ( UFBA ) Sendo log 2 = 0,301 e x = 5³. , então o valor de log x é:

1. 2,997
2. 3,898 X
3. 3,633
4. 4,398
5. 5,097

16. ( PUCCAMP - SP ) Se log 5 = 3n, log 3 = m e 100^2x = então x vale:

1. m + n
4. X
5. 3n + m

17. ( UFRS ) O valor de log ( 217,2) - log ( 21,72 ) é:

1. -1
2. 0
3. 1 X
4. log ( 217,2 - 21,72 )

18. ( FMU - SP ) O valor de 3 . log 3 + log 5 é:

1. log 30
2. log 135 X
3. log 14
4. log 24
5. log 45

19. ( UEL - PR ) Dado log 4 = 0, 602 , o valor de log 32⁵ é:

1. 15,050
2. 13,725
3. 11,050
4. 9,675
5. 7,525 X

20. ( FCC - SP ) Se log 5 = 0,70 o valor de log 250 é:

1. 2,40
2. 2,70
3. 2,80
4. 3,40
5. 3,80 X

21. ( FATEC - SP ) Se log 2 = r e log 3 = s, entao log ( 2³ . 3⁴ . 5² ) é igual a:

1. r - 2s
2. r³ + s⁴
3. 3r + 4s - 2
4. 2 + r + 4s X
5. r³ + s⁴ + 2 ( r + s )

22. ( PUC - SP ) Se log 2 = x e log 3 = y, então log 375 é:

1. y + 3x
2. y + 5x
3. y - x + 3
4. y - 3x + 3 X
5. 3 ( y + x )

23. ( UEL - PR ) Dados os números reais x e y tais que log x - log y = 4 é verdade que :

1. x = 10⁴ . y X
2. x = 4y
3. x =
4. x² = y
5. x = 10⁴ + y

24. ( UEPG - PR ) A expressão log_1/381 + log 0,001 + log vale:

1. -4/3
2. 4/3
3. -20/3 X
4. -21/3
5. -19/3

25. ( PUC - BA ) A expressão log 2/3 + log 3/4 + log 4/5- log 14/55 é equivalente a:

1. log 77
2. log 18
3. log 7
4. log 4
5. log ( 11/7 ) X

LOGARITMOS

MUDANÇA DE BASE E COLOG

1. O valor de colog₂5 é igual ao valor de:

1. log₂5
2. colog₅2
3. log₂1/5 X
4. log₅2
5. log₅1/2

2. Se log_ba = c, então log_ab é igual a:

1. -c
2. 2c
3. 1/c X
4. 2/c
5. -2c

3. Se colog₂1/5 = a, então log₅2 é:

1. -a
2. 1/a X
3. -1/a
4. a
5. 2a

4. Sendo log₃2 = x, então log₉4 é igual a :

1. x X
2. -x
3. 2x
4. x²
5. x^-2

5. ( UEL - PR ) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log₂3 é:

1. 1,6 X
2. 0,8
3. 0,625
4. 0,5
5. 0,275

6. (CEFET - PR ) Sabendo que log 2 = 0,3010, o valor de log₁₀₀4 é:

1. 0,3010 X
2. 0,6020
3. 0,1505
4. 0,4515
5. 0,7525

7. ( UEPG - PR ) Sendo log 7 = b, então log₁₀₀ 343 é igual a :

1. 3b
2. 2b
3. b
4. 2b/3
5. 3b/2 X

8. ( MACK- SP ) Se x = log₂₇169 e y = log₃13, então:

1. x = 2y/3 X
2. x=3y/2
3. x=3y
4. x=y/3
5. nda

9. ( PUC - SP ) Se log₈x = m e x > 0 então log₄x é igual a :

1. m/2
2. 3m/4
3. 3m/2 X
4. 2m
5. 3m

10. ( VUNESP - SP ) Se x = log₈25 e y = log₂5, então:

1. x = y
2. 2x = y
3. 3x = 2y X
4. x = 2y
5. 2x = 3y

11. ( FUVEST - SP ) Se x = log₄7 e y = log₁₆49, então x - y é:

1. log₄7
2. log₁₆7
3. 1
4. 2
5. 0 X

12. ( PUC - SP ) Se log 2 = 0,301, o valor de log₁₀₀1280 é:

1. 1,0535
2. 1,107
3. 1,3535
4. 1,5535 X
5. 2,107

13. ( CESCEM - SP ) O logaritmo de um número na base 16 é 2/3. Então, o logaritmo desse número na base 1/4 é:

1. -4/3 X
2. -3/4
3. 3/8
4. 3
5. 6

14. ( UNIMEP - SP ) Sabe-se que log 2 = 0,30. Desse modo, pode-se dizer que log₅8 é:

1. 9/7 X
2. 0,90
3. 0,45
4. 1,2
5. 0,6

15. ( PUC - MG ) Quais quer que sejam ao números reais positivos a, b c ( diferentes da unidade ) log_ab².log_bc³.log_ca⁴ é igual a :

1. 24 X
2. 20
3. 18
4. 12
5. 10

16. ( UEPG - PR ) Sendo log5 = a e log 7 = b, então log₅₀175 vale:

3. X

17. (ACAFE-SC) Sendo log_a2 = x e log_a3 = y, o valor de ( log₂a + log₃a ). log_a4 .log_a é:

1. 2x+2y
2. -2x-2y
3. -x-y
4. x+y X
5. x-y

LOGARITMOS - EQUAÇÕES

1. ( CESGRANRIO - RJ ) Se log ( 2x - 5 ) = 0 então x vale:

1. 5
2. 4
3. 3 X
4. 7/3
5. 5/2

2. ( FGV - SP ) A equação log_x ( 2x +3 )= 2 apresenta o seguinte conjunto solução:

1. { -1, 3 }
2. { -1 }
3. { 3 } X
4. { 1, 3 }
5. nda

3. (UEL-PR) É correto afirmar que no universo IR o conjunto solução da equação lo₃ ( -x² -10x ) = 2:

1. é Æ
2. é unitário
3. tem dois elementos irracionais
4. tem dois elementos inteiros X
5. tem dois elementos racionais e não inteiros

4. ( ESAL - MG ) O valor de x tal que log₆₄8 = x é:

1. 2
2. 3
3. 2/3
4. 1/2 X
5. 3/2

5. ( PUC - SP ) Quanto a solução da equação ( logx )² - 3. log x + 2 = 0 é verdade que :

1. só uma delas é real
2. a maior delas é 1000
3. a menor delas é 100
4. a menor delas é 10 X
5. a maior delas é 1

6. ( UEPG - PR ) Sendo ( log₂x)² - 3 log₂x - 4 = 0 então o produto entre as raízes da equação vale:

1. -8
2. 16
3. -1/4
4. 4
5. 8 X

7. ( CONSART - SP ) A solução da equação log₈x + log₈ (3x-2) = 1 é dada por:

1. -4/3
2. 1/2
3. -2
4. 2 X
5. nda

8. ( PUC - SP ) O conjunto verdade da equação 2. log x = log 4 +log ( x + 3 ) é:

1. { -2, 6 }
2. { -2 }
3. { 2, -6 }
4. Æ
5. { 6 } X

9. ( CEFET - PR ) A soma das raízes da equação log²x - logx⁴ = 0 é:

1. 1000
2. 1001
3. 101
4. 10001 X
5. 11

10. ( UFSC ) Indica-se por log x o logaritmo decimal do número x. Se 4 + log x = 4. log 4, então x é igual a:

1. 16
2. 2,56
3. 0,4
4. 0,256
5. 0,0256 X

11. ( UNIMEP - SP ) O logaritmo na base 2, do número x² - x é igual a 1. O valor de x que satisfaz a sentença é:

1. 2 ou -1 X
2. -1 ou 0
3. 1
4. 0
5. 3

12. ( PUC - SP ) Aumentando um número x de 16 unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades. Então x é:

1. 2 X
2. 1
3. 3
4. 4
5. 5

13. ( UEBA ) No universo IR a solução da equação log₂x + log₂ ( x +1 )= 1 é um número:

1. ímpar X
2. entre 0 e 1
3. maior que 3
4. múltiplo de 3
5. divisível por 5

14. ( UECE ) O conjunto solução da equação log₂4x- log₄2 = 0 é:

1. { /4 } X
2. { /2}
3. { }
4. {2 }
5. nda

15. ( CEFET - PR ) Se log_a , então b² é igual a :

1. 1
2. 4
3. 8
4. 3
5. 9 X

16. ( UEPG - PR ) Se log₂x+log₈x = 1 , então x vale :

1. X
3. 2
4. 3
5. nda

17. ( MACK - SP ) Se , a > 0, a 1, então o valor de x é:

1. a X
2. 1/a
3. a²
4. 1/a²

18. ( FGV - SP ) A solução da equação é :

1. x= log₂ ( 12/5 )
2. x = log₂ ( 5/12 )
3. x = log_5/122 X
4. x = log_12/52
5. x = log₁₂5

19. ( CEFETR - PR ) Se log₂x - log₄x = -1/2, então x^x é igual a:

1. 1/4
2. 4
3. /2 X
4. 1/2

20. ( PUC - PR ) A diferença das soluções da equação , em modulo , é:

1. 2
2. -2
3. 4
4. 0
5. 6 X

21. (FUVEST-SP) O conjunto solução da equação x . ( log₅3^x + log₅21 ) + log₅ ( 3/7)^x = 0 é:

1. Æ
2. {0}
3. {1}
4. {0,2}
5. {0,-2} X

LOGARITMOS - INEQUAÇÕES

1. ( PUC - MG ) A desigualdade log₂(5x-3) < log₂7 é verdadeira para:

1. x > 0
2. X > 2
3. x < 3/5
4. 3/5 < x < 2 X
5. 0 < x < 3/5

2. ( UFPA ) Qual o valor de x na inequação log_1/2 x > log_1/2 2 ?

1. x > 1/2
2. x < 1/2
3. x > 2
4. x < 2 e x > 0 X
5. x = 2

3. ( PUC - RS ) Se log_1/3 (5x-2 ) > 0 então x pertence ao intervalo:

1. ( 0, 1 )
2. ( _- , 1 )
3. ( 2/5, 3/5 ) X
4. ( 2/5 , )
5. (_- , 3/5 )

4. ( FGV - SP ) A solução da inequação log_1/3(x²-3 ) > 0 é:

1. x < - ou x >
2. -2 < x < 2
3. - < x <
4. -2 < x < - ou < x < 2 X
5. x < -2 ou x > 2

5. ( UECE ) O domínio da função real : é:

1. x < -1 ou x > 1
2. x - ou x X
3. 1 < x
4. - x < -1
5. nda

6. ( VUNESP - SP ) O par ordenado de números reais que não corresponde a um ponto do gráfico de y = log x é:

1. ( 9, 2 log 3 )
2. ( 1, 0 )
3. ( 1/2, - log 2 )
4. ( 1/8, - 3log2 )
5. ( -32, -2log 5 ) X

7. ( PUC - MG ) O domínio da função f ( x ) = log₅(-x²+3x+10) é:

1. IR^*
2. IR_-^*
3. x -2 e x 5
4. x < -2 ou x > 5
5. -2 < x < 5 X

8. ( PUC - SP ) O domínio da função é o conjunto solução:

1. x > 4
2. x 6
3. 3 < x < 6 X
4. 3 x < 6
5. 3 x 6

9. ( CESCEA - SP ) O domínio de definição da função é:

1. x < -3 ou x > 8
2. -1 < x < 1
3. x -2 ou x 5
4. -2 x < -1 ou 1 < x 5 X
5. não sei

10. ( PUC - SP ) Se y = log_x-2(x²-4x ) para que y exista devemos ter x :

1. igual a 4
2. menor que 4
3. maior que 4 X
4. igual a 2
5. nada disso